Leyes de Kirchhoff: ley de nudos y ley de mallas (con ejemplos resueltos)

Las leyes de Kirchhoff son dos reglas para analizar cualquier circuito. La primera, la ley de nudos, dice que en un nudo la suma de las corrientes que entran es igual a la suma de las que salen. La segunda, la ley de mallas, dice que en cualquier camino cerrado la suma de las tensiones es cero. Con ellas y la Ley de Ohm se resuelve cualquier circuito de resistencias.

Con la Ley de Ohm y las reglas de resistencias en serie y paralelo se resuelven muchos circuitos, pero no todos: en cuanto aparecen dos pilas en ramas distintas, como en el ejemplo de este artículo, ya no hay forma de agrupar las resistencias en una sola. Ahí entran las dos leyes que Gustav Kirchhoff enunció en 1845, cuando todavía era estudiante.

Antes de empezar: nudo, rama y malla

Las dos leyes hablan de nudos y mallas, así que primero, tres definiciones (en los exámenes se pregunta mucho cuántos hay de cada uno):

Nudo: un punto donde se juntan tres o más cables. Si solo se unen dos, no es un nudo: es un cable que sigue, aunque dibuje una esquina.
Rama: el trozo de circuito que va de un nudo a otro. Todo lo que hay en una rama está en serie, así que por toda la rama pasa la misma corriente. Por eso hay una corriente desconocida por cada rama.
Malla: un camino cerrado que no tiene otro camino cerrado dentro. Si dibujas el circuito en un papel, cada malla es una de sus «ventanas».

En el circuito de la figura 1 hay 2 nudos (A y B), 3 ramas (la de V1 y R1, la de R3 y la de V2 y R2) y 2 mallas (la ventana izquierda y la derecha). El contorno exterior también es un camino cerrado, pero no es una malla porque contiene a las otras dos, y su ecuación no aporta nada nuevo.

Figura 1. Dos nudos (A y B, en cobre), tres ramas (en verde azulado) y dos mallas (en violeta). Las esquinas no son nudos: en ellas solo se unen dos cables.

Un truco para comprobar que has contado bien: en un circuito plano, mallas = ramas − nudos + 1. Aquí, 3 − 2 + 1 = 2.

Primera ley de Kirchhoff: ley de nudos (corrientes)

La primera ley de Kirchhoff, también llamada ley de corrientes, dice:

En un nudo, la suma de las corrientes que entran es igual a la suma de las corrientes que salen.

ΣI entran = ΣI salen

También se puede escribir como ΣI = 0, contando con signo positivo las corrientes que entran y con signo negativo las que salen. Es lo mismo, solo que con todo en un lado de la ecuación.

En la figura 2 entran 5 A y 3 A, y salen 2 A y una corriente desconocida I. Lo que entra, 8 A, tiene que salir: 2 + I = 8, así que I = 6 A. Con signos, 5 + 3 − 2 − I = 0 da lo mismo.

Figura 2. Entran 5 A + 3 A = 8 A, así que tienen que salir 8 A: si por un cable salen 2 A, por el otro salen 6 A.

¿Por qué se cumple? Por la conservación de la carga. La carga no se crea ni se destruye, y tampoco se puede acumular en un punto de un cable: si entraran 8 culombios por segundo y salieran solo 2, el nudo se iría llenando de carga sin parar.

Un detalle que te ahorrará disgustos: no hace falta saber de antemano si una corriente entra o sale. Si en la figura 2 hubieras dibujado la flecha de I entrando al nudo, la ecuación sería 5 + 3 + I = 2, y te saldría I = −6 A. El signo menos te está diciendo que en realidad sale. El valor, 6 A, es el mismo.

Segunda ley de Kirchhoff: ley de mallas (tensiones)

La segunda ley de Kirchhoff, o ley de tensiones, dice:

En cualquier camino cerrado de un circuito, la suma de las tensiones es cero.

ΣV = 0 (en una malla)

La clave está en los signos: recorre la malla entera hasta volver al punto de partida y, en cada componente, apunta si la tensión sube o baja. El criterio de todo el artículo es este:

Elige un sentido de recorrido para la malla, horario o antihorario. Da igual cuál, pero no lo cambies a mitad de la malla.
Pilas: si la atraviesas de − a + (de la placa corta a la larga), la tensión sube y sumas +V. Si la atraviesas de + a −, restas V.
Resistencias: si la atraviesas en el mismo sentido que la corriente que has supuesto, la tensión cae y restas I·R. Si vas en contra de la corriente, sumas +I·R.

En la figura 3 hay una pila de 9 V con dos resistencias en serie, de 1 kΩ y 2 kΩ. La corriente es I = 9 V / 3 kΩ = 3 mA. Recorriendo la malla en sentido horario, la pila sube 9 V, R1 baja 3 mA · 1 kΩ = 3 V y R2 baja 3 mA · 2 kΩ = 6 V. La suma: +9 − 3 − 6 = 0. Este reparto de la tensión entre dos resistencias en serie es, por cierto, el divisor de tensión: la ley de mallas es lo que hay debajo de su fórmula.

Figura 3. Recorriendo la malla en el sentido de la flecha violeta, la pila sube 9 V (en cobre) y las resistencias bajan 3 V y 6 V (en rojo): la suma es cero.

¿Por qué se cumple? Por la conservación de la energía. La tensión es energía por unidad de carga: cada punto del circuito tiene un potencial, igual que cada punto de un mapa tiene una altura. Una carga que da la vuelta completa a la malla vuelve al mismo punto y, por tanto, al mismo potencial. Toda la energía que ha ganado al atravesar las pilas la ha tenido que perder en las resistencias, que la convierten en calor.

Una forma sencilla de entenderlo: la rotonda y la ruta de montaña

Yo me lo aprendí así. La ley de nudos es una rotonda: todos los coches que entran tienen que salir por alguna de las salidas, porque dentro no se quedan acumulados. La ley de mallas es una ruta de montaña circular: por el camino subes y bajas, pero cuando vuelves al punto de partida estás a la misma altura que al salir, así que todo lo que has subido lo has tenido que bajar. Las pilas son las cuestas arriba y las resistencias, las cuestas abajo.

Cómo resolver un circuito con Kirchhoff, paso a paso

Lo que cuesta al principio no son las leyes, sino saber cuántas ecuaciones plantear. Este método funciona siempre:

Pon nombre a la corriente de cada rama y elige un sentido cualquiera. No pierdas tiempo adivinando el sentido correcto: si te equivocas, esa corriente solo saldrá negativa.
Escribe las ecuaciones de nudos: tantas como nudos menos uno. La ecuación del último nudo siempre se puede sacar combinando las demás, así que no aporta información.
Escribe las ecuaciones de mallas que falten hasta tener tantas ecuaciones como incógnitas. Suele salir una por malla. Usa el mismo criterio de signos en todas.
Resuelve el sistema por sustitución, por reducción o con la calculadora. Antes de empezar, pasa todo a las mismas unidades.
Interpreta los signos y comprueba. Una corriente negativa va al revés de tu flecha. Para comprobar, mete los resultados en la ecuación de nudos (y si quieres, en la de alguna malla) y mira que cuadre.

Ejemplo resuelto: circuito con dos pilas

Vamos a resolver el circuito de la figura 4. En la rama izquierda hay una pila V1 = 12 V y una resistencia R1 = 100 Ω; en la central, R3 = 300 Ω, y en la derecha, una pila V2 = 6 V con R2 = 200 Ω. El nudo de abajo, B, es la referencia (0 V).

Figura 4. El ejemplo planteado: corrientes supuestas en verde azulado y, en violeta, el sentido en que recorremos cada malla (M1 y M2), en los dos casos subiendo por la pila.

Paso 1: corrientes. Suponemos que I1 sube por la rama izquierda hacia A, que I2 sube por la rama derecha hacia A y que I3 baja de A a B por R3. Son tres incógnitas, así que necesitamos tres ecuaciones.

Paso 2: nudos. Hay 2 nudos, así que planteamos 2 − 1 = 1 ecuación. En el nudo A entran I1 e I2 y sale I3:

(1) I1 + I2 = I3

Paso 3: mallas. Faltan dos ecuaciones, una por malla. La malla 1 (M1) la recorremos en sentido horario: subimos por V1 de − a + (+12), atravesamos R1 a favor de I1 (−100·I1) y bajamos por R3 a favor de I3 (−300·I3). La malla 2 (M2) la recorremos en sentido antihorario, que también nos hace subir por su pila: +6, −200·I2 y −300·I3.

(2) 12 − 100·I1 − 300·I3 = 0

(3) 6 − 200·I2 − 300·I3 = 0

Fíjate en que R3 aparece en las dos mallas: es la resistencia compartida, y su caída cuenta en las dos.

Paso 4: resolver. Por sustitución. De (2) despejamos I1 = 0,12 − 3·I3, y de (3), I2 = 0,03 − 1,5·I3. Metiendo las dos en (1):

0,12 − 3·I3 + 0,03 − 1,5·I3 = I3 → 0,15 = 5,5·I3

Así que I3 = 0,15 / 5,5 = 0,02727 A, y volviendo a las expresiones de I1 e I2:

I1 = 38,18 mA
I2 = −10,91 mA
I3 = 27,27 mA
V_A = R3 · I3 = 300 · 0,02727 ≈ 8,18 V

Paso 5: comprobar. En el nudo A: 38,18 + (−10,91) = 27,27 mA ✓. En la malla 1: 12 − 3,818 − 8,182 = 0 ✓. En la malla 2: 6 − 200 · (−0,01091) − 8,182 = 6 + 2,182 − 8,182 = 0 ✓.

¿Por qué I2 sale negativa?

La corriente negativa no es un error: significa que I2 circula al revés de lo que supusimos. No sube hacia A por la rama derecha, sino que baja desde A, atraviesa R2 y entra en la pila de 6 V por su borne positivo. Una pila en la que la corriente entra por el + no está dando energía, la está recibiendo: la pila de 12 V está cargando a la de 6 V.

Tiene sentido: el nudo A queda a 8,18 V, más que los 6 V de V2, así que la corriente «cae» desde A hacia esa pila. La potencia también cuadra: V1 entrega 12 V · 38,18 mA ≈ 458 mW; las resistencias se comen unos 146 mW (R1), 24 mW (R2) y 223 mW (R3), y la pila de 6 V absorbe 6 V · 10,91 mA ≈ 65 mW. 146 + 24 + 223 + 65 = 458 mW ✓.

Figura 5. El resultado, con las flechas en su sentido real: I2 salió negativa y su flecha está dada la vuelta. Los 38,18 mA de la pila de 12 V se reparten entre R3 (27,27 mA) y la pila de 6 V (10,91 mA), que se carga.

El atajo: plantearlo con la tensión del nudo

Cuando le pillas el truco, hay una forma más rápida que es la que usa la calculadora de abajo (se llama método de nudos). Como B está a 0 V, cada corriente se puede escribir con la Ley de Ohm en función de V_A: en la rama izquierda subes 12 V con la pila y bajas I1·R1 hasta llegar a V_A, así que I1 = (12 − V_A) / 100. Igual con las otras: I2 = (6 − V_A) / 200 e I3 = V_A / 300. Al meterlas en la ecuación del nudo queda una sola incógnita:

V_A = (V1/R1 + V2/R2) / (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)

Con los números: V_A = (0,12 + 0,03) / (0,01 + 0,005 + 0,00333) ≈ 8,18 V, y de ahí salen las tres corrientes en una línea cada una.

Calculadora de Kirchhoff para circuitos de dos mallas

Introduce las pilas y resistencias del circuito de la figura 4 y verás las tres corrientes con su sentido real, el esquema con tus valores y la comprobación con las dos leyes. En «Ver el planteamiento» tienes las ecuaciones con tus números, para compararlas con las tuyas. Viene cargada con el ejemplo resuelto.

Calculadora de Kirchhoff (2 mallas)

Calcula las tres corrientes de un circuito con dos pilas y tres resistencias, con su sentido real, la comprobación y el planteamiento de las ecuaciones.

V1, pila de la rama izquierda

V2, pila de la rama derecha

R1, resistencia de la rama izquierda

R2, resistencia de la rama derecha

R3, resistencia de la rama central

Las tensiones pueden ser 0 o negativas (una pila dada la vuelta). Las resistencias tienen que ser mayores que 0 y admiten decimales, como 0.05.

Esquema de tu circuito: las flechas marcan el sentido real de cada corriente. Si una sale negativa, su flecha se da la vuelta.

Tensión del nudo A (respecto a B)

8,182 V

VA = (V1/R1 + V2/R2) / (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)

I1 = 38,18 mA → sube por la rama izquierda hacia A, como supusimos. La pila V1 entrega energía.
I2 = −10,91 mA → circula al revés de lo supuesto (baja desde A por la rama derecha): la pila V2 se está cargando.
I3 = 27,27 mA → baja de A a B por R3, como supusimos.

Comprobación

Ley de nudos en A: lo que llega por las ramas con pila es lo que baja por R3.

I1 + I2 = 38,18 mA + (−10,91 mA) = 27,27 mA = I3 ✓

Ley de mallas, malla 1 (izquierda): V1 − R1·I1 − R3·I3

12 V − 3,818 V − 8,182 V = 0 V ✓

Ley de mallas, malla 2 (derecha): V2 − R2·I2 − R3·I3

6 V + 2,182 V − 8,182 V = 0 V ✓

Ver el planteamiento

Corrientes supuestas: I1 sube por la rama izquierda hacia A, I2 sube por la derecha hacia A e I3 baja de A a B. Todo en voltios, ohmios y amperios.

Nudo A: I1 + I2 = I3
Malla 1, subiendo por V1: 12 − 100·I1 − 300·I3 = 0
Malla 2, subiendo por V2: 6 − 200·I2 − 300·I3 = 0

Para resolverlo de forma rápida, se escribe cada corriente con la Ley de Ohm en función de la tensión del nudo A (B está a 0 V) y se sustituye en la ecuación del nudo:

VA = (12/100 + 6/200) / (1/100 + 1/200 + 1/300) = 8,182 V

I1 = (V1 − VA) / R1 = (12 − 8,1818) / 100 = 38,18 mA
I2 = (V2 − VA) / R2 = (6 − 8,1818) / 200 = −10,91 mA
I3 = VA / R3 = 8,1818 / 300 = 27,27 mA

Errores típicos (los que más se ven en los exámenes)

Pensar que una corriente negativa está mal y «darle la vuelta» a mitad del problema. El signo menos solo dice que va al revés de tu flecha. Si cambias la flecha a mitad de camino, las ecuaciones que ya tenías dejan de valer. Termina con los sentidos que elegiste e interpreta los signos al final.
Mezclar criterios de signos entre mallas. Cada malla se puede recorrer en el sentido que quieras, pero el criterio tiene que ser siempre el mismo: pila de − a + suma, resistencia a favor de la corriente resta. Si en una malla restas las caídas y en otra las sumas, el resultado no cumple las leyes.
Escribir una ecuación de nudo por cada nudo. Sobra una: la última es combinación de las demás. En un circuito de dos nudos, la ecuación del nudo B es I3 = I1 + I2, la misma que la de A. Si la usas en lugar de una de mallas, te quedas con un sistema sin solución única.
Olvidar la caída de una resistencia compartida. R3 está en las dos mallas, y su caída (R3·I3) aparece en las dos ecuaciones. Es muy fácil ponerla en la primera malla y olvidarla en la segunda.
Mezclar unidades. Si pones kΩ con A, o Ω con mA, te equivocas en un factor 1000. O todo en V, Ω y A, o todo en V, kΩ y mA, que también encaja: 1 kΩ · 1 mA = 1 V. Este último es muy cómodo para circuitos de electrónica, como verás en el ejercicio.

¿Dónde se usa en la vida real?

El ejemplo más claro lo tienes en el coche. Con el motor en marcha, el alternador y la batería están conectados en paralelo y alimentan a la vez todo lo que consume: luces, ventilador, centralita, radio… Es exactamente el circuito del ejemplo resuelto. Con un modelo sencillo:

Alternador: 14,4 V con una resistencia interna de 0,05 Ω (rama izquierda).
Batería: 12,6 V con una resistencia interna de 0,02 Ω (rama derecha).
Consumos: equivalen a una resistencia de 1,2 Ω (rama central).

Con el atajo: V = (14,4/0,05 + 12,6/0,02) / (1/0,05 + 1/0,02 + 1/1,2) = 918 / 70,83 ≈ 12,96 V. El alternador da (14,4 − 12,96) / 0,05 = 28,8 A, la batería da (12,6 − 12,96) / 0,02 = −18 A y los consumos se llevan 12,96 / 1,2 = 10,8 A. Comprobación con la ley de nudos: 28,8 − 18 = 10,8 A ✓.

Otra vez una corriente negativa, y otra vez significa lo mismo: la batería se está cargando. El alternador alimenta los consumos y, con lo que le sobra, recarga la batería. Es un modelo muy simplificado (un alternador real lleva un regulador que ajusta su tensión), pero las cifras son del orden de las reales, y puedes reproducirlas en la calculadora con V1 = 14,4 V, R1 = 0,05 Ω, V2 = 12,6 V, R2 = 0,02 Ω y R3 = 1,2 Ω.

Hay muchos más sitios donde aparecen:

Baterías en paralelo. Si conectas en paralelo dos baterías con distinta carga, la más cargada carga a la otra. Como sus resistencias internas son tan pequeñas, la corriente puede ser enorme: con 12,6 V y 12,0 V y 0,02 Ω cada una, I = 0,6 / 0,04 = 15 A sin nada conectado. Por eso no se juntan baterías sin igualar antes su tensión.
Cualquier placa electrónica. Analizar una placa o buscar una avería con el polímetro es aplicar las dos leyes, y los simuladores de circuitos resuelven por dentro un sistema de ecuaciones de nudos como el del atajo, pero con cientos de incógnitas.
La base de otros teoremas. Los teoremas de Thévenin y de superposición, que simplifican circuitos grandes, se demuestran a partir de las leyes de Kirchhoff.

Preguntas frecuentes sobre las leyes de Kirchhoff

¿Qué dice la primera ley de Kirchhoff?

Que en un nudo la suma de las corrientes que entran es igual a la suma de las que salen (ΣI = 0 si cuentas como positivas las que entran y como negativas las que salen). Se cumple porque la carga no se crea, no se destruye ni se acumula en un punto del circuito.

¿Qué significa que me salga una corriente negativa?

Que circula en sentido contrario al que supusiste. No es un error: el valor es correcto y el signo menos solo indica el sentido. Si la corriente negativa pasa por una pila y entra por su borne positivo, esa pila está recibiendo energía, es decir, se está cargando.

¿Cuántas ecuaciones necesito para resolver un circuito con Kirchhoff?

Tantas como corrientes desconocidas, que suele ser una por rama. De la ley de nudos salen tantas ecuaciones como nudos menos uno, y las que faltan se sacan de la ley de mallas, una por cada malla. En un circuito de dos mallas con dos nudos y tres ramas: una ecuación de nudo y dos de mallas.

Ejercicio 1

En el mismo circuito de dos mallas de la figura 4, ahora V1 = 9 V, R1 = 1 kΩ, V2 = 3 V, R2 = 2 kΩ y R3 = 1 kΩ, con los mismos sentidos supuestos. Calcula I1, I2 e I3 e indica qué pila se está cargando.

Siguiente: Condensadores: el componente que almacena carga eléctrica.